Родился 2 августа 1938 года в городе Шахты Ростовской области.
Начав свою производственную деятельность подземным электрослесарем на шахте имени «Артема» в июле 1956 года, после службы в рядах Советской Армии. Прошел все руководящие должности от горного мастера до директора шахты.
В 1974 году окончил Новочеркасский ордена трудового Красного Знамени политехнический институт имени С. Орджоникидзе по специальности «Технология и комплексная механизация подземной разработки месторождений».
Всего Леонов Анатолий Алексеевич отработал в угольной промышленности 50 лет, из них 20 лет в должности первого руководителя крупнейших шахт производственного объединения «Ростовуголь» - «Аютинская» и «Южная».
Как руководитель, постоянное внимание уделял вопросам перспективного развития добычного участка шахты, внедрения новой высокопроизводительной техники.
За годы работы Анатолия Алексеевича директором шахты «Аютинская» - шахта добивалась высоких производственных показателей и не раз занимала призовые места во всесоюзном и областном социалистических соревнованиях. Уделялось особое внимание развитию социальной сферы поселков Южный и Аютинский.
Был удостоен звания Заслуженный шахтер РСФСР.
Является Почетным работником топливно-энергетического комплекса, Почетным механизатором угольной промышленности.
Награжден орденами «Трудового Красного знамени», «Знак Почета», «Дружбы народов»; медалью «За доблестный труд». Является полным кавалером знаков «Шахтерская Слава» и «Трудовая Слава».
Решением от 31.07.2014г. №543 54-го заседания городской Думы города Шахты за значительный вклад в развитие города присвоено звание «Почетный гражданин города Шахты».